Analysis Beispiele

$\int e^{2 x} \sin (x) d x$

Schritt 1

Stelle $e^{2 x}$ und $\sin (x)$ um.

$\int \sin (x) e^{2 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (x)$ und $d v = e^{2 x}$ .

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Schritt 4.3

Stelle $e^{2 x}$ und $\cos (x)$ um.

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (x)$ und $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2} \cdot - 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot - 1$ aus dem Integral.

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Schritt 7.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Schritt 7.6

Multipliziere.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 7.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{5}{4}$ zu dividieren.

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 9.1.2

Schreibe $(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ als $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ um.

$(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 9.1.3

Vereinfache.

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Schritt 9.1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (x)$ .

$(\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 9.1.3.2

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 9.1.3.3

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 9.1.3.4

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{\cos (x)}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 9.1.4

Stelle die Faktoren in $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ um.

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$ als $(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ um.

$(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Schritt 9.3

Stelle die Faktoren in $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ um.

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$