Analysis Beispiele

$\int x^{3} e^{6 x^{4}} \sqrt{{(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{5}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 48 x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ , folglich $\frac{1}{48} d u_{2} = x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{6 x^{4}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{6 x^{4}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 6 x^{4}$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $6 x^{4}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 x^{4}$ .

$2 (e^{6 x^{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{4}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 (4 x^{3}))) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (24 x^{3})) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $24$ mit $2$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + 0$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Addiere $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ und $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$

Schritt 1.1.5.2

Stelle die Faktoren in $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ um.

$48 x^{3} e^{6 x^{4}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \sqrt{{u_{2}}^{5}} \frac{1}{48} d u_{2}$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ und $\frac{1}{48}$ .

$\int \frac{\sqrt{{u_{2}}^{5}}}{48} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{48}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{48}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{48} \int \sqrt{{u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ als ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{48} \int {u_{2}}^{\frac{5}{2}} d u_{2}$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$ als $\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{48}$ mit $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{48 \cdot 7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $48$ mit $7$ .

$\frac{2}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $336$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $336$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{168} {(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{\frac{7}{2}} + C$