Analysis Beispiele

$\int 2 \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = \sin (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = \sin (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.1.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int \sqrt[3]{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt[3]{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[3]{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (2 x)$ .

$\frac{3}{4} {\sin (2 x)}^{\frac{4}{3}} + C$