Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{s^{4} - 8}{s^{2}} d s$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $s^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) {(s^{2})}^{- 1} d s$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(s^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) s^{2 \cdot - 1} d s$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) s^{- 2} d s$

Schritt 2

Multipliziere $(s^{4} - 8) s^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} s^{4} s^{- 2} - 8 s^{- 2} d s$

Schritt 3

Multipliziere $s^{4}$ mit $s^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{4} s^{4 - 2} - 8 s^{- 2} d s$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\int_{1}^{4} s^{2} - 8 s^{- 2} d s$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} s^{2} d s + \int_{1}^{4} - 8 s^{- 2} d s$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $s^{2}$ nach $s$ gleich $\frac{1}{3} s^{3}$ .

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 8 s^{- 2} d s$

Schritt 6

Da $- 8$ konstant bezüglich $s$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} - 8 \int_{1}^{4} s^{- 2} d s$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $s^{- 2}$ nach $s$ gleich $- s^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} - 8 (- s^{- 1}]_{1}^{4})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{3} s^{3}$ bei $4$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- s^{- 1}]_{1}^{4})$

Schritt 8.2

Berechne $- s^{- 1}$ bei $4$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 - 1}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.6

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$\frac{63}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $63$ und $3$ .

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Schritt 8.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$\frac{3 \cdot 21}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21}{1} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2.4

Dividiere $21$ durch $1$ .

$21 - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + 1)$

Schritt 8.3.10

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Schritt 8.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$21 - 8 \frac{- 1 + 4}{4}$

Schritt 8.3.12

Addiere $- 1$ und $4$ .

$21 - 8 (\frac{3}{4})$

Schritt 8.3.13

Kombiniere $- 8$ und $\frac{3}{4}$ .

$21 + \frac{- 8 \cdot 3}{4}$

Schritt 8.3.14

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$21 + \frac{- 24}{4}$

Schritt 8.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $4$ .

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Schritt 8.3.15.1

Faktorisiere $4$ aus $- 24$ heraus.

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

Schritt 8.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

Schritt 8.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

Schritt 8.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$21 + \frac{- 6}{1}$

Schritt 8.3.15.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$21 - 6$

Schritt 8.3.16

Subtrahiere $6$ von $21$ .

$15$

Schritt 9