Analysis Beispiele

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{1}{4} x) - \cot (a n \cdot 5 x) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (a n \cdot (5 x)) d x$

Schritt 1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $a n$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 3

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = \frac{x}{4}$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{4} d x$ , folglich $4 d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = \frac{x}{4}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Schritt 5.1.2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 6

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Schritt 6.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{4}$ zu dividieren.

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 4) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \cdot 4 d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 6.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sin (u_{1})$ .

$\tan (x) + C + 2 \int 4 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\tan (x) + C + 2 (4 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\tan (x) + C + 8 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 9

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) + \int - \cot (5 a n x) d x$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (5 a n x) d x$

Schritt 11

Sei $u_{2} = 5 a n x$ . Dann ist $d u_{2} = 5 a n d x$ , folglich $\frac{1}{5 a n} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = 5 a n x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $5 a n x$ .

$\frac{d}{d x} [5 a n x]$

Schritt 11.1.2

Da $5 a n$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 a n x$ nach $x$ gleich $5 a n \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 a n \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 a n \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 a n$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (u_{2}) \frac{1}{5 a n} d u_{2}$

Schritt 12

Kombiniere $\cot (u_{2})$ und $\frac{1}{5 a n}$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \frac{\cot (u_{2})}{5 a n} d u_{2}$

Schritt 13

Da $\frac{1}{5 a n}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{5 a n}$ aus dem Integral.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - (\frac{1}{5 a n} \int \cot (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 14

Das Integral von $\cot (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{1}{5 a n} (\ln (| \sin (u_{2}) |) + C)$

Schritt 15

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Schritt 15.1

Vereinfache.

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{1}{5 a n} \ln (| \sin (u_{2}) |) + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ und $\frac{1}{5 a n}$ .

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{4}$ .

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 a n x$ .

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{1}{4} x) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$