Analysis Beispiele

$5^{x} + 2 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5^{x} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 5^{x} \ln (5) + 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5^{x} \ln (5) + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\ln (5)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5^{x} \ln (5)$ nach $x$ gleich $\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$\ln (5) (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.4

Potenziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5^{x} {\ln (5)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $5^{x} \ln^{2} (5)$ und $0$ .

$f'' (x) = 5^{x} \ln^{2} (5)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $\ln^{2} (5)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5^{x} \ln^{2} (5)$ nach $x$ gleich $\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$\ln^{2} (5) (5^{x} \ln (5))$

Schritt 3.3

Multipliziere $\ln^{2} (5)$ mit $\ln (5)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $\ln (5)$ .

$\ln (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $\ln^{2} (5)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$\ln^{1} (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\ln (5)}^{1 + 2} \cdot 5^{x}$

Schritt 3.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren von $\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$ um.

$f''' (x) = 5^{x} \ln^{3} (5)$