Analysis Beispiele

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ als ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.1.9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Schritt 1.1.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.12.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

Schritt 1.1.12.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.12.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.12.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.1.12.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.12.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.12.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.12.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.12.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.1.13.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{x^{2}}$ an.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.13.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.13.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.1.13.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.13.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

Schritt 1.1.13.3.2

Vereinfache.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

Schritt 1.1.13.3.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

Schritt 1.1.13.3.4

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.13.3.5

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.13.3.5.1

Bewege $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

Schritt 1.1.13.3.5.2

Mutltipliziere $2^{- \frac{1}{2}}$ mit $2$ .

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Schritt 1.1.13.3.5.2.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

Schritt 1.1.13.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

Schritt 1.1.13.3.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

Schritt 1.1.13.3.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

Schritt 1.1.13.3.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 1.1.13.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 1.1.13.3.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ zu dividieren.

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Da $2^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2^{\frac{1}{2}}$ aus dem Integral.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $2^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2.2

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2.3

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$