Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x - \frac{π}{4})}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{4}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Schritt 6.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Schritt 6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{π \cdot 2 - π}{4}) \frac{2}{π}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\sin (\frac{2 \cdot π - π}{4}) \frac{2}{π}$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Schritt 6.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Schritt 6.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Schritt 6.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2} \frac{1}{π}$

Schritt 6.8

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Dezimalform:

$0.45015815 \dots$