Analysis Beispiele

$3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2} = 2 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d y} (2 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} y^{2}$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$6 x x' + 5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x^{2}$ und $g (y) = y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]))$

Schritt 2.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))$

Schritt 2.3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x'))$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x'))$

Schritt 2.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x')$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$6 x x' + 10 (x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x' = 2$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $10 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x x' + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 x x'$ aus $6 x x' + 10 y^{2} x x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 x x'$ aus $6 x x'$ heraus.

$2 x x' \cdot 3 + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 x x'$ aus $10 y^{2} x x'$ heraus.

$2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 x x'$ aus $2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2})$ heraus.

$2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ durch $2 x (3 + 5 y^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ durch $2 x (3 + 5 y^{2})$ .

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + 5 y^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x^{2} y$ heraus.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (3 + 5 y^{2})$ heraus.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{2} y$ heraus.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (3 + 5 y^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{(3 + 5 y^{2}) x}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(3 + 5 y^{2}) x$ um.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{1 - 5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.5.1

Bewege $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 (x \cdot x) y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$