Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 4} \frac{4 x^{2} + 4 x - 8}{a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 4} 4 x^{2} + 4 x - 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 4} 4 x^{2} + lim_{x \to - 4} 4 x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 4 x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 4 x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 4$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + lim_{x \to - 4} b x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 8

Ziehe den Term $a$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} b x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} b x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 10

Ziehe den Term $b$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 4$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 4$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 12.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{4 \cdot 16 + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{64 + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\frac{64 - 16 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{64 - 16 - 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.1.5

Subtrahiere $16$ von $64$ .

$\frac{48 - 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.1.6

Subtrahiere $8$ von $48$ .

$\frac{40}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{40}{a \cdot 16 + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.2.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{40}{16 \cdot a + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.2.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{40}{16 a - 4 \cdot b + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.2.4

Faktorisiere $4$ aus $16 a - 4 b + 8$ heraus.

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Schritt 13.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16 a$ heraus.

$\frac{40}{4 (4 a) - 4 b + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 b$ heraus.

$\frac{40}{4 (4 a) + 4 (- b) + 8} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.2.4.3

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{40}{4 (4 a) + 4 (- b) + 4 (2)} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.2.4.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 a) + 4 (- b)$ heraus.

$\frac{40}{4 (4 a - b) + 4 (2)} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.2.4.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 a - b) + 4 (2)$ heraus.

$\frac{40}{4 (4 a - b + 2)} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $4$ .

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$\frac{4 \cdot 10}{4 (4 a - b + 2)} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 10}{4 (4 a - b + 2)} = \frac{9}{5}$

Schritt 13.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{4 a - b + 2} = \frac{9}{5}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{10}{4 a - b + 2} = \frac{9}{5}$

Dezimalform:

$\frac{10}{4 a - b + 2} = 1.8$