Analysis Beispiele

${(4 x + y)}^{4} = 3 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(4 x + y)}^{4}) = \frac{d}{d x} (3 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 4 x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + y$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y') = 3 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y')$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y') = 3 y'$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y') = 3 y'$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 {(4 x + y)}^{3} \cdot 4 + 4 {(4 x + y)}^{3} y' = 3 y'$

Schritt 5.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 {(4 x + y)}^{3} + 4 {(4 x + y)}^{3} y' = 3 y'$

Schritt 5.1.4.2

Stelle die Faktoren in $16 {(4 x + y)}^{3} + 4 {(4 x + y)}^{3} y'$ um.

$16 {(4 x + y)}^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} = 3 y'$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $3 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 {(4 x + y)}^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$16 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$16 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$16 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.3

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$16 (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (64 x^{3}) + 16 (48 x^{2} y) + 16 (12 x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.4.1

Mutltipliziere $64$ mit $16$ .

$1024 x^{3} + 16 (48 x^{2} y) + 16 (12 x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.4.2

Mutltipliziere $48$ mit $16$ .

$1024 x^{3} + 768 (x^{2} y) + 16 (12 x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.4.3

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$1024 x^{3} + 768 (x^{2} y) + 192 (x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.5

Entferne die Klammern.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.6

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.7.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.3

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.7.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3}) + 4 y' (48 x^{2} y) + 4 y' (12 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.9

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 \cdot 64 y' x^{3} + 4 y' (48 x^{2} y) + 4 y' (12 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.9.2

Mutltipliziere $48$ mit $4$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 \cdot 64 y' x^{3} + 192 y' (x^{2} y) + 4 y' (12 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.9.3

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 \cdot 64 y' x^{3} + 192 y' (x^{2} y) + 48 y' (x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.2.2.10

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $1024 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $768 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$192 x y^{2} + 16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $192 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $16 y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $256 y' x^{3}$ heraus.

$y' (256 x^{3}) + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $192 y' x^{2} y$ heraus.

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $48 y' x y^{2}$ heraus.

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $4 y' y^{3}$ heraus.

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Schritt 5.4.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y)$ heraus.

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Schritt 5.4.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2})$ heraus.

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Schritt 5.4.8

Faktorisiere $y'$ aus $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2}) + y' (4 y^{3})$ heraus.

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Schritt 5.4.9

Faktorisiere $y'$ aus $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3}) + y' \cdot - 3$ heraus.

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3) = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3) = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$ durch $256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3) = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$ durch $256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3$ .

$\frac{y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3)}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} = \frac{- 1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{(1024) x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{(768) x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{(192) x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 1024 x^{3} - 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Faktorisiere $256 x^{2}$ aus $- 1024 x^{3} - 768 x^{2} y$ heraus.

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Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $256 x^{2}$ aus $- 1024 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x) - 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Faktorisiere $256 x^{2}$ aus $- 768 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x) + 256 x^{2} (- 3 y)}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.3

Faktorisiere $256 x^{2}$ aus $256 x^{2} (- 4 x) + 256 x^{2} (- 3 y)$ heraus.

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x - 3 y)}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x - 3 y) - 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1

Faktorisiere $64 x$ aus $256 x^{2} (- 4 x - 3 y) - 192 x y^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1.1

Faktorisiere $64 x$ aus $256 x^{2} (- 4 x - 3 y)$ heraus.

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x - 3 y)) - 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Faktorisiere $64 x$ aus $- 192 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x - 3 y)) + 64 x (- 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.2.1.3

Faktorisiere $64 x$ aus $64 x (4 x (- 4 x - 3 y)) + 64 x (- 3 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x - 3 y) - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x) + 4 x (- 3 y) - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 x \cdot x + 4 x (- 3 y) - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 x \cdot x + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.2.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.5.1.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 (x \cdot x) + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.2.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 x^{2} + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y' = \frac{64 x (- 16 x^{2} + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.2.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$y' = \frac{64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2}) - 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.3.4.1

Faktorisiere $16$ aus $64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2}) - 16 y^{3}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.4.1.1

Faktorisiere $16$ aus $64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})) - 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.1.2

Faktorisiere $16$ aus $- 16 y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})) + 16 (- y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.1.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})) + 16 (- y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2}) + 4 x (- 12 x y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.3.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 x (- 12 x y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.4.3.2.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 (x \cdot x) (- 12 y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.4.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.4.4.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 (x^{2} x) + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.5.3.4.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 (x^{2} x^{1}) + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x^{2 + 1} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x^{3} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 16$ .

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} + 4 \cdot - 12 x^{2} y + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 12$ .

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} - 48 x^{2} y + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.4.4.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} - 48 x^{2} y - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.5.3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 64 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3}) - 48 x^{2} y - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 48 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3}) - (48 x^{2} y) - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (64 x^{3}) - (48 x^{2} y)$ heraus.

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y) - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y) - (12 x y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (64 x^{3} + 48 x^{2} y) - (12 x y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2}) - (y^{3}))}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2}) - (y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}))}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.5.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.5.8.1

Schreibe $- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})$ als $- 1 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})$ um.

$y' = \frac{16 (- 1 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}))}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 5.5.3.5.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$