Analysis Beispiele

$S (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} t^{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere $t^{2}$ durch $1$ .

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3.5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3.5 t^{2}$ nach $t$ gleich $- 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{2} - 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t^{2} - 3.5 (2 t) + \frac{d}{d t} [10 t]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3.5$ .

$t^{2} - 7 t + \frac{d}{d t} [10 t]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d t} [10 t]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $10 t$ nach $t$ gleich $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} - 7 t + 10 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t^{2} - 7 t + 10 \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f' (t) = t^{2} - 7 t + 10$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - 7 t + 10$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [- 7 t]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7 t$ nach $t$ gleich $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 t - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 t - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$2 t - 7 + \frac{d}{d t} [10]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 t - 7 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2 t - 7$ und $0$ .

$f'' (t) = 2 t - 7$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t - 7$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [- 7]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $2$ und $0$ .

$f''' (t) = 2$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $S (t)$ nach $t$ ist $2$ .

$2$