Analysis Beispiele

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Schritt 4

Sei $x = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (t)$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 6

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 7

Faktorisiere $\tan^{2} (t)$ aus.

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 8

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 9

Vereinfache.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Schritt 10

Sei $u = \sec (t)$ . Dann ist $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = \sec (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Schritt 10.1.2

Die Ableitung von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 11

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 14

Vereinfache.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $u$ durch $\sec (t)$ .

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (x)$ .

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$