Analysis Beispiele

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Schritt 2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Schritt 2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Schritt 2.6.3.2

Dividiere $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ durch $1$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Schritt 2.6.4

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ um.

$x e^{\frac{x^{2}}{2}}$