Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{3}{4}} + 8 \sqrt[3]{x} + 3 x^{5}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{\frac{3}{4}} + 8 \sqrt[3]{x} + 3 x^{5} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{\frac{3}{4}} d x + \int 8 \sqrt[3]{x} d x + \int 3 x^{5} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \int 8 \sqrt[3]{x} d x + \int 3 x^{5} d x$

Schritt 5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 \int \sqrt[3]{x} d x + \int 3 x^{5} d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int 3 x^{5} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int 3 x^{5} d x$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 3 \int x^{5} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + 3 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + 3 \frac{x^{6}}{6} + C$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{6}}{6} + C$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{6}$ heraus.

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 (x^{6})}{6} + C$

Schritt 10.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{6}}{3 \cdot 2} + C$

Schritt 10.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{6}}{3 \cdot 2} + C$

Schritt 10.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{6}}{2} + C$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} x^{6} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{\frac{3}{4}} + 8 \sqrt[3]{x} + 3 x^{5}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} x^{6} + C$