Analysis Beispiele

$f (x) = - x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 x + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$- 2 x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- 2 x + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\frac{6}{3}$ und $x^{2}$ .

$- 2 x + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.3.6.2.4

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{- 3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $x^{- 4}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Schritt 1.4.5

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2 x^{4}}$

Schritt 1.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 x + 2 x^{2} - \frac{3}{2 x^{4}}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 x - 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2 x^{4}}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Schritt 2.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Schritt 2.4.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Schritt 2.4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Schritt 2.4.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

Schritt 2.4.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4 x - 2 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

Schritt 2.4.9

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{2}$ .

$4 x - 2 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

Schritt 2.4.10

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$4 x - 2 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

Schritt 2.4.11

Kombiniere $\frac{12}{2}$ und $x^{- 5}$ .

$4 x - 2 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

Schritt 2.4.12

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 2 + \frac{12}{2 x^{5}}$

Schritt 2.4.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 2.4.13.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Schritt 2.4.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

Schritt 2.4.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Schritt 2.4.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x - 2 + \frac{6}{x^{5}}$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$ .

$4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$