Analysis Beispiele

$\frac{- x}{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{x^{2} + 4}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 4}] + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

$- \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x^{2} + 4$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \cdot 0$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x^{2} + 4}$ mit $0$ .

$- \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 0$

Schritt 10.2

Addiere $- \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ und $0$ .

$- \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$