Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{2}{7} x^{3} + \frac{1}{5} x^{2} + \frac{1}{2} x d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} \frac{2}{7} x^{3} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Schritt 2

Da $\frac{2}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{7} \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{2}{7} ((\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Schritt 8.2

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} + 0) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.6

Addiere $\frac{1}{4}$ und $0$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.7

Mutltipliziere $\frac{2}{7}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{7 \cdot 4} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.8

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{2}{28} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $28$ .

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Schritt 8.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{28} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $28$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.11

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.12

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.13

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.14

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.15

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.16

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.17

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.18

Um $\frac{1}{14}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.19

Um $\frac{1}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{14}{14}$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.20

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $210$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.4.20.1

Mutltipliziere $\frac{1}{14}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{15}{14 \cdot 15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.20.2

Mutltipliziere $14$ mit $15$ .

$\frac{15}{210} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.20.3

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $\frac{14}{14}$ .

$\frac{15}{210} + \frac{14}{15 \cdot 14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.20.4

Mutltipliziere $15$ mit $14$ .

$\frac{15}{210} + \frac{14}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{15 + 14}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.22

Addiere $15$ und $14$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.23

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.24

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 8.4.25

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 8.4.26

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Schritt 8.4.27

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 8.4.28

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.4.29

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.4.30

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{4}$

Schritt 8.4.31

Um $\frac{29}{210}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{29}{210} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 8.4.32

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{105}{105}$ .

$\frac{29}{210} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Schritt 8.4.33

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $420$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.4.33.1

Mutltipliziere $\frac{29}{210}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{29 \cdot 2}{210 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Schritt 8.4.33.2

Mutltipliziere $210$ mit $2$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Schritt 8.4.33.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{105}{105}$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{105}{4 \cdot 105}$

Schritt 8.4.33.4

Mutltipliziere $4$ mit $105$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{105}{420}$

Schritt 8.4.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{29 \cdot 2 + 105}{420}$

Schritt 8.4.35

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.35.1

Mutltipliziere $29$ mit $2$ .

$\frac{58 + 105}{420}$

Schritt 8.4.35.2

Addiere $58$ und $105$ .

$\frac{163}{420}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{163}{420}$

Dezimalform:

$0.38809523 \dots$

Schritt 10