Analysis Beispiele

$f (x) = \cot (x) (- 8 \sin (x) - 10 \csc (x))$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cot (x) (- 8 \sin (x) - 10 \csc (x)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \cot (x) (- 8 \sin (x)) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Stelle $\cot (x)$ und $- 8 \sin (x)$ um.

$\int - 8 \sin (x) \cot (x) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Schritt 3.2.2

Füge Klammern hinzu.

$\int - 8 (\sin (x) \cot (x)) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Schritt 3.2.3

Stelle $\sin (x)$ und $\cot (x)$ um.

$\int - 8 (\cot (x) \sin (x)) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\cot (x) (- 8 \sin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int - 8 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Schritt 3.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\int - 8 \cos (x) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int - 8 \cos (x) - 10 \cot (x) \csc (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 8 \cos (x) d x + \int - 10 \cot (x) \csc (x) d x$

Schritt 5

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$- 8 \int \cos (x) d x + \int - 10 \cot (x) \csc (x) d x$

Schritt 6

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$- 8 (\sin (x) + C) + \int - 10 \cot (x) \csc (x) d x$

Schritt 7

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 10$ aus dem Integral.

$- 8 (\sin (x) + C) - 10 \int \cot (x) \csc (x) d x$

Schritt 8

Da die Ableitung von $- \csc (x)$ gleich $\cot (x) \csc (x)$ ist, ist das Integral von $\cot (x) \csc (x)$ gleich $- \csc (x)$ .

$- 8 (\sin (x) + C) - 10 (- \csc (x) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$- 8 \sin (x) + 10 \csc (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cot (x) (- 8 \sin (x) - 10 \csc (x))$ .

$F (x) =$ $- 8 \sin (x) + 10 \csc (x) + C$