Analysis Beispiele

$y'' - y = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$

Schritt 2

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $y = e^{r x}$ .

Schritt 3

Ermittle die charakteristische Gleichung für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$ .

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Schritt 3.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Schritt 3.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$r^{2} e^{r x} - e^{r x} = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $e^{r x}$ aus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $r^{2} e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} - e^{r x} = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $- e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} - 1) = 0$

Schritt 3.5

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r x}$ .

$r^{2} - 1 = 0$

Schritt 4

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = 1$

Schritt 4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$r = \pm 1$

Schritt 4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = 1$

Schritt 4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - 1$

Schritt 4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = 1, - 1$

Schritt 5

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- x}$

Schritt 6

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- x}$

Schritt 7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$