Analysis Beispiele

$1 - 3 y^{2} - x y^{3} = - x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (1 - 3 y^{2} - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 3 y^{2} - x y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$0 - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$0 - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$0 - 6 y y' - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$0 - 6 y y' - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$0 - 6 y y' - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 - 6 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Schritt 2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$0 - 6 y y' - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$0 - 6 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - 6 y y' - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $6 y y'$ von $0$ .

$- 6 y y' - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 6 y y' - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- y^{3} - 6 y y' - 3 y^{2} x y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y^{3} - 6 y y' - 3 y^{2} x y' = - 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $y^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 y y' - 3 y^{2} x y' = - 1 + y^{3}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 y y'$ aus $- 6 y y' - 3 y^{2} x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 y y'$ aus $- 6 y y'$ heraus.

$3 y y' \cdot - 2 - 3 y^{2} x y' = - 1 + y^{3}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $3 y y'$ aus $- 3 y^{2} x y'$ heraus.

$3 y y' \cdot - 2 + 3 y y' (- y x) = - 1 + y^{3}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3 y y'$ aus $3 y y' \cdot - 2 + 3 y y' (- y x)$ heraus.

$3 y y' (- 2 - y x) = - 1 + y^{3}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y y' (- 2 - y x) = - 1 + y^{3}$ durch $3 y (- 2 - y x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y y' (- 2 - y x) = - 1 + y^{3}$ durch $3 y (- 2 - y x)$ .

$\frac{3 y y' (- 2 - y x)}{3 y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y y' (- 2 - y x)}{3 y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (- 2 - y x)}{y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (- 2 - y x)}{y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 2 - y x)}{- 2 - y x} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 - y x$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 - y x)}{- 2 - y x} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y \cdot y^{2}}{3 y (- 2 - y x)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y (- 2 - y x)$ heraus.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y \cdot y^{2}}{y (3 (- 2 - y x))}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y \cdot y^{2}}{y (3 (- 2 - y x))}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{2}}{3 (- 2 - y x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{2}}{3 (- 2 - y x)}$