Analysis Beispiele

${(x^{3} + 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x^{3} + 1)}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(x^{3} + 1)}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(x^{3} + 1)}^{2} d x$

Schritt 4

Multipliziere ${(x^{3} + 1)}^{2}$ aus.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(x^{3} + 1)}^{2}$ als $(x^{3} + 1) (x^{3} + 1)$ um.

$\int (x^{3} + 1) (x^{3} + 1) d x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} (x^{3} + 1) + 1 (x^{3} + 1) d x$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot 1 + 1 (x^{3} + 1) d x$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.5

Stelle $x^{3}$ und $1$ um.

$\int x^{3} x^{3} + 1 \cdot x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{3 + 3} + 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.7

Addiere $3$ und $3$ .

$\int x^{6} + 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\int x^{6} + x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\int x^{6} + x^{3} + x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int x^{6} + x^{3} + x^{3} + 1 d x$

Schritt 4.11

Addiere $x^{3}$ und $x^{3}$ .

$\int x^{6} + 2 x^{3} + 1 d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{6} d x + \int 2 x^{3} d x + \int d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 2 x^{3} d x + \int d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 \int x^{3} d x + \int d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + x + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + x + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{2} + x + C$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{2} x^{4} + x + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(x^{3} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{2} x^{4} + x + C$