Analysis Beispiele

${(x^{3} + 3 y)}^{6} = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3 y)}^{6}) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = x^{3} + 3 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 3 y$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ durch $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ durch $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ .

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Schritt 5.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{3} + 3 y)}^{5}$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Schritt 5.1.2.2.2

Dividiere $3 x^{2} + 3 y'$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Um $- 3 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2} \cdot \frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kombiniere $- 3 x^{2}$ und $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} + \frac{- 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Schritt 5.3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\frac{1 - 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Schritt 5.3.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 6 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$y' = \frac{\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Schritt 5.3.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.4

Multipliziere $\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \cdot 3}$

Schritt 5.3.3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$