Analysis Beispiele

$S (t) = t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t}$

Schritt 1

Die Funktion $3 (t)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $S (t)$ ermittelt wird.

$3 (t) = \int S (t) d t$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$3 (t) = \int t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t} d t$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int t^{2} d t + \int - \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C + \int - \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \int \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} t^{3} + C - (\frac{1}{2} \int t d t) + \int \sqrt{t} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int \sqrt{t} d t$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{2}}{4} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{4} t^{2} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $S (t) = t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t}$ .

$3 (t) =$ $\frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{4} t^{2} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$