Analysis Beispiele

$y^{2} - 4 x y + \arctan (x) = 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 4 x y + \arctan (x)) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 4 x y + \arctan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 y y' - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y y' - 4 (x y') - 4 y + \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Um $2 y y'$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5.2.3

Um $- 4 x y'$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 y - 4 x y' \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5.2.4

Kombiniere $- 4 x y'$ und $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5.2.6

Um $- 4 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 y \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5.2.7

Kombiniere $- 4 y$ und $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{- 4 y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 y \cdot 1 - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x)) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x^{1})) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{2 + 1}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{3}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y \cdot 1 + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 0$

Schritt 5.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $4 y x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y + 4 y x^{2}$

Schritt 5.2.2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 4 x y'$ heraus.

$2 y' (- 2 x) - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 4 x^{3} y'$ heraus.

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.3.4

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y x^{2} y'$ heraus.

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.3.5

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3})$ heraus.

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.3.6

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y$ heraus.

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.3.7

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2})$ heraus.

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.4

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 y' ((- 2 x - 2 x^{3}) + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 y' (2 x (- 1 - x^{2}) - y (- 1 - 1 x^{2})) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 1 - x^{2}$ .

$2 y' ((- 1 - x^{2}) (2 x - y)) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Schritt 5.2.6

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ durch $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ durch $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ .

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ heraus.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 5.2.6.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$