Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) \sqrt{2 \sin^{2} (x) - 1} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = \sin (x)$ . Dann ist $d u_{1} = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {u_{1}}^{3} \sqrt{2 {u_{1}}^{2} - 1} d u_{1}$

Schritt 2

Sei $u_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ positiv ist.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{1} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.4

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2})}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2}$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(\sqrt{2} \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.5.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{2} \sec (t)$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{1} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{4} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 (2)} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot 2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.9.2

Dividiere $\sec^{2} (t)$ durch $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t)} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ und $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ und $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} d t$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} d t$

Schritt 3.2.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Schritt 3.2.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}}$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{{\sqrt{2}}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}}$ mit $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t) (\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Schritt 3.2.3.4

Multipliziere $\sec^{3} (t)$ mit $\sec (t)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.4.1

Bewege $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Schritt 3.2.3.4.2

Mutltipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{3} (t)$ .

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Schritt 3.2.3.4.2.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Schritt 3.2.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{{\sec (t)}^{1 + 3} (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Schritt 3.2.3.4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Schritt 3.2.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{8}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) \sqrt{2} \tan^{2} (t)}{2 \sqrt{8}} d t$

Schritt 4

Da $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ aus dem Integral.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Schritt 5.2

Schreibe ${\sec (t)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 6

Schreibe $\sec^{2} (t)$ in $1 + \tan^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 7

Sei $u_{2} = \tan (t)$ . Dann ist $d u_{2} = \sec^{2} (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = \tan (t)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\tan (t)$ nach $t$ ist $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Schritt 7.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = \tan (t)$ ein.

$u_{lower} = \tan (0)$

Schritt 7.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 7.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = \tan (t)$ ein.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 7.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} (1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8

Multipliziere $(1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 9.2

Multipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit ${u_{2}}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Schritt 9.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{4}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1})$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1}$ und $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2

Vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.5

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.6

Um $\frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{5 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.7.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5 + 3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.9

Addiere $5$ und $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Schritt 14.2.12

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0))$

Schritt 14.2.13

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + 0))$

Schritt 14.2.14

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - 0)$

Schritt 14.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} + 0)$

Schritt 14.2.16

Addiere $\frac{8}{15}$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \cdot \frac{8}{15}$

Schritt 14.2.17

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ mit $\frac{8}{15}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{2 \sqrt{8} \cdot 15}$

Schritt 14.2.18

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{30 \sqrt{8}}$

Schritt 14.2.19

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{30 \sqrt{8}}$

Schritt 14.2.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $30$ .

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Schritt 14.2.20.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{30 \sqrt{8}}$

Schritt 14.2.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30 \sqrt{8}$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

Schritt 14.2.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

Schritt 14.2.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{8}}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 15.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 15.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 15.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 (2 \sqrt{2})}$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{30 \sqrt{2}}$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $30$ .

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Schritt 15.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{30 \sqrt{2}}$

Schritt 15.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

Schritt 15.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

Schritt 15.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

Schritt 15.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 15.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

Schritt 15.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{15}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{15}$

Dezimalform:

$0.1\overline{3}$