Analysis Beispiele

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \ln (5 x^{2})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $\frac{1}{5 x^{2}}$ und $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.4.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.6.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.6.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

Schritt 1.4.8

Mutltipliziere $\ln (5 x^{2})$ mit $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

Schritt 1.5.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (5 x^{2})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $10$ und $\frac{1}{5 x^{2}}$ .

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $\frac{10}{5 x^{2}}$ und $x$ .

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 2.2.8.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x$ heraus.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.9.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.9.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{x} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{4}{x}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$