Analysis Beispiele

$\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{3}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{10} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2.5

Kombiniere $\frac{15}{10}$ und $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $10$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $15 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{4}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.5

Kombiniere $\frac{12}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 2.2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6.2.4

Dividiere $6 x^{3}$ durch $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Schritt 2.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$6 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $6 x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x$ heraus.

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ heraus.

$6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1) = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1)$ heraus.

$6 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$6 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$6 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$6 x {(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.5.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 x {(x + 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{10}$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $- 1$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Multipliziere $\frac{3}{10} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Kombiniere $\frac{3}{10}$ und $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3 \cdot - 1}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 + {(- 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 - 1$

Schritt 4.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.2.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} - 1$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{10} - 1$

Schritt 4.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} - 1$

Schritt 4.3.2.2.4

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1}$

Schritt 4.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{10}{10}$

Schritt 4.3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 10}{10}$

Schritt 4.3.2.4.2

Addiere $- 3$ und $10$ .

$f (- 1) = \frac{7 - 10}{10}$

Schritt 4.3.2.4.3

Subtrahiere $10$ von $7$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10}$

Schritt 4.3.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 1) = - \frac{3}{10}$

Schritt 4.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- 1, - \frac{3}{10})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1, - \frac{3}{10})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- 1, - \frac{3}{10})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 6 {(- 1.1)}^{3} + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.1$ mit $3$ .

$f'' (- 1.1) = 6 \cdot - 1.331 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 1.1$ mit $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1)$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 + 6 (- 1.1)$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 - 6.6$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 7.986$ und $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 6.534 - 6.6$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $6.6$ von $6.534$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.066$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.066$ .

$- 0.066$

Schritt 6.3

Bei $- 1.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.066$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 1)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{4}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.6

Kombiniere $3$ und $\frac{- 1}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.11

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.14.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.15.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 7.2.1.15.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Schritt 7.2.1.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Schritt 7.2.1.15.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 3 \cdot - 1$

Schritt 7.2.1.16

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 - 3$

Schritt 7.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} - 3$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} - 3$

Schritt 7.2.2.4

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1}$

Schritt 7.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 3 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 12}{4}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.5.1

Addiere $- 3$ und $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 12}{4}$

Schritt 7.2.5.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

Schritt 7.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Schritt 7.3

Bei $- \frac{1}{2}$ , die zweite Ableitung ist $- 0.75$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 1, 0)$

Abfallend im Intervall $(- 1, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 \cdot 0.01 + 6 (0.1)$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 6 (0.1)$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 0.6$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $0.006$ und $0.12$ .

$f'' (0.1) = 0.126 + 0.6$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0.126$ und $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.726$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.726$ .

$0.726$

Schritt 8.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.726$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 10