Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} e^{y} - y^{2} + 2 d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} e^{y} d y + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Schritt 2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{y}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 2 y]_{- 1}^{1}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $e^{y}]_{- 1}^{1}$ und $2 y]_{- 1}^{1}$ .

$e^{y} + 2 y]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $e^{y} + 2 y$ bei $1$ und $- 1$ .

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $1$ und $- 1$ .

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache.

$e + 2 \cdot 1 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Schritt 7.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Schritt 7.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{1 + 1}{3}$

Schritt 7.2.3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{2}{3}$

Schritt 7.2.3.11

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$e + 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Schritt 7.2.3.12

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Schritt 7.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e + \frac{2 \cdot 3 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Schritt 7.2.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e + \frac{6 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Schritt 7.2.3.14.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Schritt 7.2.3.15

Um $- (e^{- 1} - 2)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.16

Kombiniere $- (e^{- 1} - 2)$ und $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{4}{3} + \frac{- (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e + \frac{4 - (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.18

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e + \frac{4 - 3 (e^{- 1} - 2)}{3}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e + \frac{4 - 3 (\frac{1}{e} - 2)}{3}$

Schritt 8.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e + \frac{4 - 3 \frac{1}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

Schritt 8.1.1.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{e}$ .

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

Schritt 8.1.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} + 6}{3}$

Schritt 8.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e + \frac{4 - \frac{3}{e} + 6}{3}$

Schritt 8.1.1.6

Addiere $4$ und $6$ .

$e + \frac{10 - \frac{3}{e}}{3}$

Schritt 8.1.1.7

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$e + \frac{\frac{10 e}{e} - \frac{3}{e}}{3}$

Schritt 8.1.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e + \frac{\frac{10 e - 3}{e}}{3}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e + \frac{10 e - 3}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\frac{10 e - 3}{e}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$e + \frac{10 e - 3}{e \cdot 3}$

Schritt 8.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$e + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Schritt 8.2

Um $e$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 e}{3 e}$ .

$e \cdot \frac{3 e}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Schritt 8.3

Kombiniere $e$ und $\frac{3 e}{3 e}$ .

$\frac{e (3 e)}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e (3 e) + 10 e - 3}{3 e}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$\frac{3 \cdot e e + 10 e - 3}{3 e}$

Schritt 8.5.2

Multipliziere $3 e e$ .

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Schritt 8.5.2.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e) + 10 e - 3}{3 e}$

Schritt 8.5.2.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e^{1}) + 10 e - 3}{3 e}$

Schritt 8.5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 e^{1 + 1} + 10 e - 3}{3 e}$

Schritt 8.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

Dezimalform:

$5.68373572 \dots$

Schritt 10