Analysis Beispiele

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (1 + \frac{i}{n}) (\frac{2}{n})$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $1 + \frac{i}{n}$ mit $\frac{2}{n}$ .

$\frac{(1 + \frac{i}{n}) \cdot 2}{n}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\frac{n}{n} + \frac{i}{n}) \cdot 2}{n}$

Schritt 1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{n + i}{n} \cdot 2}{n}$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{n + i}{n}$ und $2$ .

$\frac{\frac{(n + i) \cdot 2}{n}}{n}$

Schritt 1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $n + i$ .

$\frac{\frac{2 (n + i)}{n}}{n}$

Schritt 1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 (n + i)}{n} \cdot \frac{1}{n}$

Schritt 1.6

Multipliziere $\frac{2 (n + i)}{n} \cdot \frac{1}{n}$ .

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 (n + i)}{n}$ mit $\frac{1}{n}$ .

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n}$

Schritt 1.6.2

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{1} n}$

Schritt 1.6.3

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{1} n^{1}}$

Schritt 1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (n + i)}{n^{1 + 1}}$

Schritt 1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{2}}$

Schritt 1.7

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{n} \frac{2 (n + i)}{n^{2}}$

Schritt 2

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{2 (n + i)}{n^{2}}) (n)$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $n$ aus $n^{2}$ heraus.

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n} n$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n} n$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (n + i)}{n}$