Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{lower} = 0 - 1$

Schritt 1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{- 1}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 1}^{0}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ bei $0$ und $- 1$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$0 - \frac{3}{2} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.2.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 4.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.11

Subtrahiere $\frac{3}{2}$ von $0$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$- 1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 1 \frac{1}{2}$

Schritt 6