Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3

Dividiere $2 x^{2} + 5$ durch $x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Schritt 3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Schritt 3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$2$

Schritt 3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} + 0 + 2$

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$

Schritt 3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$
									+	$3$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 d x + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$2 x + C + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 7.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$2 x + C + 3 (\arctan (x) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$2 x + 3 \arctan (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $2 x + 3 \arctan (x) + C$