Analysis Beispiele

$\int \tan^{4} (5 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 5 x$ . Dann ist $d u_{1} = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \tan^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\tan^{4} (u_{1})$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int \tan^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{5} \int {\tan (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\tan (u_{1})}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\frac{1}{5} \int {(\tan^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Schritt 5

Schreibe $\tan^{2} (u_{1})$ in $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{5} \int {(- 1 + \sec^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{5} \int 1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u) d u_{1}$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe $\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$ als $\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$ um.

$\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$

Schritt 8.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) (5 x) + \sec^{4} (u) (5 x)) + C$

Schritt 8.3

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) \cdot 5 x + \sec^{4} (u) \cdot 5 x) + C$