Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x}}$ als ${(\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2 - 2 x$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) - 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) + 2 (- x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- x)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{2 x^{2}}{1 - x}$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2 x^{2}}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 x^{2}}{1 - x}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) - 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) + 2 (- x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.2.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- x)$ heraus.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.2.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.7.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{2}}{1 - x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}])$

Schritt 4.7.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.7.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.7.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.7.3.3

Mutltipliziere ${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$ mit $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 - x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9

Differenziere.

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Schritt 4.9.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 - x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9.7

Multipliziere.

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Schritt 4.9.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9.9

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

${(\frac{1 - x}{2 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - x}{2 x^{2}}$ an.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.3

Wende die Produktregel auf $2 x^{2}$ an.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6

Vereine die Terme

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Schritt 4.10.6.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.10.6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.10.6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{1}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.2

Vereinfache.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 x \cdot x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 (x^{1} x) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 (x^{1} x^{1}) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 x^{1 + 1} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.9

Addiere $- 2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.10

Mutltipliziere $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x}$ mit $\frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 x - x^{2})}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10.6.11

Bringe ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.6.12

Multipliziere ${(1 - x)}^{2}$ mit ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.10.6.12.1

Bewege ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2})}$

Schritt 4.10.6.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Schritt 4.10.6.12.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 4.10.6.12.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 4.10.6.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 4.10.6.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.10.6.12.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Schritt 4.10.6.12.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.7

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.8

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 4.10.8.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- x) + 2 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.8.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot 2$ heraus.

$\frac{x (- x + 2)}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- x + 2)}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.10

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x + 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.12

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- (x - 2)}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.14

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{- 1 (x - 2)}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.10.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{x - 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$