Analysis Beispiele

${(e^{x} - 1)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x} - 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} - 1$ .

$2 (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (e^{x} - 1) (e^{x} + 0)$

Schritt 4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$2 (e^{x} - 1) e^{x}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 e^{x} + 2 \cdot - 1) e^{x}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 e^{x} e^{x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.1

Bewege $e^{x}$ .

$2 (e^{x} e^{x}) + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 e^{x + x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Schritt 5.3.1.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{x}$