Analysis Beispiele

$y = \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin^{4} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \cos (x))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4 \cos (x) \sin (x)$ aus $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4 \cos (x) \sin (x)$ aus $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ heraus.

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $4 \cos (x) \sin (x)$ aus $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ heraus.

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $4 \cos (x) \sin (x)$ aus $4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x))$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)))$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ heraus.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)))$

Schritt 4.5

Ordne Terme um.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))$

Schritt 4.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$4 \cos (x) \sin (x) (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \cos (x) \sin (x) \cdot - 1$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$