Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} (\frac{12}{x^{2}} - 1) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{2} \frac{12}{x^{2}} - 1 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} \frac{12}{x^{2}} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Schritt 3

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$12 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$12 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$12 (- x^{- 1}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$12 (- x^{- 1}]_{1}^{2}) + - x]_{1}^{2}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$12 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1}) + - x]_{1}^{2}$

Schritt 7.2

Berechne $- x$ bei $2$ und $1$ .

$12 (- 2^{- 1} + 1^{- 1}) + - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1}) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 (- \frac{1}{2} + 1) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$12 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 \frac{- 1 + 2}{2} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.6

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{12}{2} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 7.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.7.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 - 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.9

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$6 - 2 + 1$

Schritt 7.3.10

Addiere $- 2$ und $1$ .

$6 - 1$

Schritt 7.3.11

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$5$

Schritt 8