Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{0} (y + \sqrt{y + 2}) d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 1}^{0} y + \sqrt{y + 2} d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{0} y d y + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Schritt 4

Sei $u = y + 2$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = y + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 4.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = y + 2$ ein.

$u_{lower} = - 1 + 2$

Schritt 4.3

Addiere $- 1$ und $2$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = y + 2$ ein.

$u_{upper} = 0 + 2$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $2$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{1}{2} y^{2}$ bei $0$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Schritt 7.2

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $2$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1 + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.5

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$- \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.6

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.7

Multipliziere $2$ mit $2^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 7.3.7.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.7.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.7.4

Addiere $2$ und $3$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 7.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 7.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Schritt 7.3.11

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Schritt 7.3.12

Um $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.3.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.3.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.3.13.3

Mutltipliziere $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 7.3.13.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Schritt 7.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 + (2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Schritt 7.3.15

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2^{\frac{5}{2}} - 2$ .

$\frac{- 3 + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- 1 (3) + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)$ heraus.

$\frac{- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))$ heraus.

$\frac{- 1 (3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Schritt 8.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 9.2

Multipliziere $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \frac{3 - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{3 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 9.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 9.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 9.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 9.2.6

Addiere $2$ und $5$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} + 4}{6}$

Schritt 9.4

Addiere $3$ und $4$ .

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Dezimalform:

$0.71895141 \dots$

Schritt 11