Analysis Beispiele

$x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{π} \sin (π x)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Schritt 3.3

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \cdot 1))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) π)$

Schritt 3.6

Kombiniere $\cos (π x)$ und $\frac{1}{π}$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x)}{π} π$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{\cos (π x)}{π}$ und $π$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

Schritt 3.8.2

Dividiere $\cos (π x)$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \cos (π x)$