Analysis Beispiele

$\int_{- 4}^{0} (\frac{y}{4} + \sqrt{y + 5}) d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} + \sqrt{y + 5} d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 4}^{0} y d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Schritt 5

Sei $u = y + 5$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = y + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 5$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 5.1.4

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = y + 5$ ein.

$u_{lower} = - 4 + 5$

Schritt 5.3

Addiere $- 4$ und $5$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = y + 5$ ein.

$u_{upper} = 0 + 5$

Schritt 5.5

Addiere $0$ und $5$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{2} y^{2}$ bei $0$ und $- 4$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Schritt 8.2

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $5$ und $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} \cdot 16) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.5

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $2$ .

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Schritt 8.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 8}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6.2.4

Dividiere $- 8$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} (0 - 8) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.7

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 8 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 8$ .

$\frac{- 8}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 8.3.9.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 2}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.10

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $5^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 8.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 8.3.13

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 8.3.14

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 8.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 8.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.16.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 8.3.16.2

Subtrahiere $2$ von $- 6$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 8.3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Dezimalform:

$4.78689325 \dots$

Schritt 10