Analysis Beispiele

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{2 x}$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(x - 3) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.7.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.3.2

Subtrahiere $e^{2 x}$ von $- 6 e^{2 x}$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.5

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 1.1.4.5.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 e^{2 x} x$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.5.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- 7 e^{2 x}$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.5.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ heraus.

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $h (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $e^{2 x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $e^{2 x}$ gleich $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Löse $e^{2 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{2 x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.3.3

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $2 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 7$

Schritt 2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4

Werte $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{7}{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{7}{2}$ .

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 4.1.2.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.1.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.1.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

Schritt 4.1.2.2.4.2

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{7} \cdot 2$

Schritt 4.1.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{7}$ .

$2 e^{7}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

Schritt 4.2.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

Schritt 5