Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Schritt 1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Schritt 2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Forme um.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Schritt 3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

Schritt 3.3

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Schritt 3.5

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.5.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.5.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 3.5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - t$

Schritt 3.5.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Schritt 3.5.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ mit $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Schritt 3.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

Schritt 3.9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.9.1.1

Berechne $e^{u}$ bei $- t$ und $0$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

Schritt 3.9.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Schritt 3.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Schritt 3.9.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 3.10

Da der Exponent $- t$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- t}$ $0$ an.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 3.11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.11.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.11.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.11.2.1

Subtrahiere $1 \cdot 1$ von $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.11.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.2.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.11.2.2.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.11.2.2.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.11.2.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

Schritt 3.11.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$