Analysis Beispiele

$\int x {(x + 2)}^{4} d x$

Schritt 1

Diese Integral konnte nicht durch partielle Integration gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode versuchen.

Schritt 2

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (u - 2) u^{4} d u$

Schritt 3

Multipliziere $(u - 2) u^{4}$ .

$\int u \cdot u^{4} - 2 u^{4} d u$

Schritt 4

Multipliziere $u$ mit $u^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{4}$ .

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Schritt 4.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{4} - 2 u^{4} d u$

Schritt 4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 4} - 2 u^{4} d u$

Schritt 4.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u$

Schritt 7

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{1}{6} u^{6} - 2 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{- 2}{5} u^{5} + C$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$\frac{1}{6} {(x + 2)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 2)}^{5} + C$