Analysis Beispiele

$\int \frac{(2 x^{2} + 4 x - 3)}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) x^{- 2} d x$

Schritt 3

Multipliziere $(2 x^{2} + 4 x - 3) x^{- 2}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 x^{2} + 4 x) x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 x^{2} x^{- 2} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x^{2 - 2} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int 2 x^{0} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Schritt 3.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 2 \cdot 1 + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int 2 + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 2 + 4 (x^{1} x^{- 2}) - 3 x^{- 2} d x$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 + 4 x^{1 - 2} - 3 x^{- 2} d x$

Schritt 3.9

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\int 2 + 4 x^{- 1} - 3 x^{- 2} d x$

Schritt 3.10

Stelle $2$ und $4 x^{- 1}$ um.

$\int 4 x^{- 1} + 2 - 3 x^{- 2} d x$

Schritt 3.11

Bewege $2$ .

$\int 4 x^{- 1} - 3 x^{- 2} + 2 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 6

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$4 \ln (| x |) + \frac{3}{x} + 2 x + C$