Analysis Beispiele

$y = x e^{2 x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x e^{2 x})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = e^{2 x}$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$x (e^{2 x} \frac{d}{d y} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d y} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (e^{2 x} (2 x')) + e^{2 x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (e^{2 x} (2 x')) + e^{2 x} x'$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Stelle die Terme um.

$2 e^{2 x} x x' + e^{2 x} x'$

Schritt 3.6.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{2 x} x x' + e^{2 x} x'$ um.

$2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x' = 1$ um.

$2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x' = 1$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $2 x e^{2 x} x' + e^{2 x} x'$ um.

$2 x x' e^{2 x} + x' e^{2 x} = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x' e^{2 x}$ aus $2 x x' e^{2 x} + x' e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x' e^{2 x}$ aus $2 x x' e^{2 x}$ heraus.

$x' e^{2 x} (2 x) + x' e^{2 x} = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x' e^{2 x}$ aus $x' e^{2 x}$ heraus.

$x' e^{2 x} (2 x) + x' e^{2 x} \cdot 1 = 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x' e^{2 x}$ aus $x' e^{2 x} (2 x) + x' e^{2 x} \cdot 1$ heraus.

$x' e^{2 x} (2 x + 1) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{2 x} (2 x + 1) = 1$ durch $e^{2 x} (2 x + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{2 x} (2 x + 1) = 1$ durch $e^{2 x} (2 x + 1)$ .

$\frac{x' e^{2 x} (2 x + 1)}{e^{2 x} (2 x + 1)} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' e^{2 x} (2 x + 1)}{e^{2 x} (2 x + 1)} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{2 x} (2 x + 1)}$