Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} (2 x^{3} - 4 x^{- 2}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{3} 2 x^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} 2 x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) - 4 \int_{1}^{3} x^{- 2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{3})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $3$ und $1$ .

$2 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{3})$

Schritt 8.2

Berechne $- x^{- 1}$ bei $3$ und $1$ .

$2 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$2 (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{81 - 1}{4} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$2 (\frac{80}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $4$ .

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Schritt 8.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $80$ heraus.

$2 \frac{4 \cdot 20}{4} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{20}{1}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.5.2.4

Dividiere $20$ durch $1$ .

$2 \cdot 20 - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $20$ .

$40 - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + 1)$

Schritt 8.3.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3})$

Schritt 8.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$40 - 4 \frac{- 1 + 3}{3}$

Schritt 8.3.11

Addiere $- 1$ und $3$ .

$40 - 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 8.3.12

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{3}$ .

$40 + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

Schritt 8.3.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$40 + \frac{- 8}{3}$

Schritt 8.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$40 - \frac{8}{3}$

Schritt 8.3.15

Um $40$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$40 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 8.3.16

Kombiniere $40$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 8.3.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{40 \cdot 3 - 8}{3}$

Schritt 8.3.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.18.1

Mutltipliziere $40$ mit $3$ .

$\frac{120 - 8}{3}$

Schritt 8.3.18.2

Subtrahiere $8$ von $120$ .

$\frac{112}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{112}{3}$

Dezimalform:

$37.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$37 \frac{1}{3}$

Schritt 10