Analysis Beispiele

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Prüfe, ob die gegebene Lösung die Differentialgleichung erfüllt.

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Schritt 1.1

Ermittle $y'$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.3.1

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c e^{x^{2}}$ nach $x$ gleich $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.4.1

Stelle die Faktoren von $c e^{x^{2}} (2 x)$ um.

$2 e^{x^{2}} c x$

Schritt 1.1.3.4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} c x$ um.

$2 c x e^{x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Schritt 1.2

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Schritt 1.3

Stelle die Faktoren in $2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ um.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Schritt 1.4

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

$y = c e^{x^{2}}$ ist ein Lösung von $y' = 2 x y$

Schritt 2

Ersetze in die Anfangsbedingung

$1 = c e^{0^{2}}$

Schritt 3

Löse nach $c$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $c e^{0^{2}} = 1$ um.

$c e^{0^{2}} = 1$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $c e^{0^{2}} = 1$ durch $e^{0^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $c e^{0^{2}} = 1$ durch $e^{0^{2}}$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{0^{2}}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Schritt 3.2.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.3.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$c = 1$