Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} (x + 1)} d x$

Schritt 4

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 4.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 4.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.1.2

Dividiere $A (x + 1)$ durch $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.1.5.4.1

Faktorisiere $x$ aus $B (x^{2} (x + 1))$ heraus.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.5.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.4.2.5

Dividiere $B (x (x + 1))$ durch $1$ .

$1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 4.1.5.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 4.1.5.9.2

Dividiere $(C) (x^{2})$ durch $1$ .

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.6.1

Stelle $B$ und $x$ um.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Schritt 4.1.6.2

Bewege $A$ .

$1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

Schritt 4.1.6.3

Bewege $B x$ .

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

Schritt 4.1.6.4

Bewege $A x$ .

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

Schritt 4.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 4.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B + C$

Schritt 4.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 4.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 4.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

Schritt 4.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

Schritt 4.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

Schritt 4.3.3

Löse in $0 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 0$ um.

$1 + B = 0$

$A = 1$

$0 = B + C$

Schritt 4.3.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

Schritt 4.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $0 = B + C$ durch $- 1$ .

$0 = (- 1) + C$

$B = - 1$

$A = 1$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.4.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

Schritt 4.3.5

Löse in $0 = - 1 + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 4.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + C = 0$ um.

$- 1 + C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Schritt 4.3.6

Löse das Gleichungssystem.

$C = 1 B = - 1 A = 1$

Schritt 4.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$C = 1, B = - 1, A = 1$

Schritt 4.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 10

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 10.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 10.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 10.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$