Analysis Beispiele

$\sqrt{{(3 x - 2)}^{2} - 4}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(3 x - 2)}^{2} - 4}$ als ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = {(3 x - 2)}^{2} - 4$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 7.2.2

Bringe ${({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2} - 4]$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(3 x - 2)}^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x - 2$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x - 2$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 9.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 9.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 9.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x - 2) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 9.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2) + 0)$

Schritt 9.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.8.1

Addiere $6 (3 x - 2)$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (6 (3 x - 2))$

Schritt 9.8.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

Schritt 9.8.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})} (3 x - 2)$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Stelle die Faktoren von $\frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 x - 2)$ um.

$(3 x - 2) \frac{3}{{({(3 x - 2)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Schreibe ${(3 x - 2)}^{2}$ als $(3 x - 2) (3 x - 2)$ um.

$(3 x - 2) \frac{3}{{((3 x - 2) (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.2

Multipliziere $(3 x - 2) (3 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 x^{2} - 12 x + 4 - 4$ .

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x + 0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $9 x^{2} - 12 x$ und $0$ .

$(3 x - 2) \frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $3 x - 2$ mit $\frac{3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(3 x - 2) \cdot 3}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 x - 2$ .

$\frac{3 (3 x - 2)}{{(9 x^{2} - 12 x)}^{\frac{1}{2}}}$