Analysis Beispiele

$- y + 2 x y = - 3 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- y + 2 x y) = \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y + 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- y' + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- y' + 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- y' + 2 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- y' + 2 (x y' + y)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' + 2 (x y') + 2 y$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- y' + 2 x y' + 2 y$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$2 x y' + 2 y - y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x y' + 2 y - y' = - 3$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' - y' = - 3 - 2 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 x y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 x y'$ heraus.

$y' (2 x) - y' = - 3 - 2 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (2 x) + y' \cdot - 1 = - 3 - 2 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 x) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ durch $2 x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} - \frac{2 y}{2 x - 1}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 - 2 y}{2 x - 1}$

Schritt 5.3.3.2.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y' = \frac{- 1 (3) - 2 y}{2 x - 1}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (3) - (2 y)}{2 x - 1}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (2 y)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (3 + 2 y)}{2 x - 1}$

Schritt 5.3.3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$